• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Бакалаврская программа «Экономика»

Математический анализ

2019/2020
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
15
Кредиты
Статус:
Курс обязательный
Когда читается:
1-й курс, 1-4 модуль

Преподаватели

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплины «Математический анализ» предназначена для студентов 1-го курса бакалавриата направление 38.03.01. Экономика, образовательные программы «Экономика», «Экономика и статистика». Формат изучения дисциплины - без использования онлайн курса. В курсе студенты познакомятся с базовыми знаниями теории пределов и непрерывных функций, дифференциального исчисления функций одной и многих переменных, основами неопределенного, определенного (в том числе кратного) и несобственного интегрирования, основами теории рядов. Материал иллюстрирован большим числом примеров анализа экономических систем.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Добиться усвоения студентами теоретических основ, базовых результатов и теорем математического анализа, а также основных математических приемов и правил формального анализа и решения различных математических задач на основе полученных теоретических знаний.
  • Подготовить слушателей к чтению современных текстов по экономической теории, использующих модели и методы многомерного математического анализа
  • Обеспечить запросы других разделов математики, использующих возникающие в математическом анализе конструкции
  • Научить слушателей давать оценку предельного поведения различных функций
  • Продемонстрировать возможность исследования зависимости экстремумов от параметров
  • Выработать у слушателей навыки решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования
  • Развить умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений
Результаты освоения дисциплины

Результаты освоения дисциплины

  • студент должен знать графики основных элементарных функций, уметь их строить и преобразовывать
  • студент должен уметь исследовать последовательность на монотонность и ограниченность, находить пределы последовательностей, точные грани множества значений последовательности
  • студент должен уметь находить пределы функций, иметь понятие об эквивалентных функциях и асимптотических соотношениях между функциями; студент должен уметь находить асимптоты функций
  • студент должен уметь исследовать функцию на непрерывность и знать основные свойства непрерывных функций
  • студент должен уметь находить производную функции, касательную к графику функции, понимать содержательное значение производной
  • студент должен уметь находить разложение функции по формуле Тейлора
  • студент должен уметь исследовать функцию с помощью производных и строить эскиз графика функции
  • студент должен владеть понятиями открытого и замкнутого множества, выпуклого и связного множеств, ограниченного и неограниченного множеств, компактного множества.
  • студент должен владеть понятием непрерывной ФМП и знать основные свойства непрерывной ФМП - локальные и на компакте.
  • студент должен уметь вычислять частные производные и дифференциал ФМП, находить касательную плоскость к поверхности уровня, находить градиент и производную по направлению, знать содержательные свойства градиента.
  • студент должен уметь исследовать ФМП на безусловный экстремум
  • студент должен владеть информацией об условиях существования неявной ФМП, о матрице Якоби и якобиане.
  • студент должен уметь решать задач на условный экстремум ФМП, находить наибольшее и наименьшее значения ФМП на компакте
  • студент должен иметь представление о первообразной и уметь находить неопределенный интеграл в простых случаях
  • студент должен иметь понятие об интегральной сумме и определенном интеграле, о формуле Ньютона-Лейбница, о геометрическом и усредняющем смысле определенного интеграла.
  • студент должен иметь представление об интегральной сумме и кратном интеграле, уметь вычислять его в простых случаях.
  • студент должен знать об области сходимости функционального ряда и уметь находить ее в простых случаях
  • студент должен знать понятие числового ряда, сходимости ряда; должен уметь исследовать ряд на сходимость в простых случаях.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Тема 1.1. Множества и операции над ними
    Множества и операции над ними (объединение, пересечение, разность). Объединение и пересечение множеств. Основные тождества алгебры множеств. Понятие о числовых множествах. Упорядоченные пары и декартово произведение множеств. Множество N натуральных чисел. Числовые множества Z и Q. Множество R действительных чисел. Аксиома непрерывности (полноты). Числовая прямая. Отрезки, интервалы и другие промежутки числовой прямой. Окрестности. Длина отрезка на числовой прямой. Верхние и нижние грани, точные верхние и нижние грани числовых множеств. Принципы супремума и инфимума. Понятие о мощности множества. Конечные, счетные и несчетные множества. Несчетность множества действительных чисел.
  • Тема 1.2. Функции
    Соответствия и отображения (функции). Способы задания функций. Образы и прообразы точек и множеств при заданном отображении. Композиция функций. Обратимость функции и обратная функция. Сюръекция, инъекция, биекция. Числовые функции одной действительной переменной. Четные, нечетные, периодические функции. Области возрастания и убывания, экстремумы. Монотонные и ограниченные функции. Основные элементарные функции. Элементарные функции. Область определения. Множество значений. Многочлены. Деление многочленов. Разложение многочленов на множители. Рациональные функции и простые дроби. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Экономические примеры: стандартные функции, используемые в экономических моделях; функции полезности (благосостояния) и задачи их оптимизации, функции спроса Торнквиста, функции общего и среднего дохода, прибыли фирмы, функции общих и средних издержек.
  • Тема 1.3. Последовательности и их предел
    Последовательности как функции, определенные на множестве натуральных чисел или его начальном отрезке. Числовые последовательности. Последовательности, заданные рекуррентно. Линейные рекуррентные последовательности. Арифметические и геометрические прогрессии. Биномиальные коэффициенты и формула бинома Ньютона. Неравенство Бернулли. Монотонные последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Экономические примеры. Дискретные финансовые потоки; формулы начисления простых и сложных процентов, формула аннуитета. Предел последовательности. Единственность предельного значения. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, последовательности с пределами ±∞. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Арифметические свойства пределов последовательностей. Свойства пределов, связанные с неравенствами. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности. Теорема «о двух полицейских». Предел lim_(n→∞) (1+1/n)^n=e. Экономические примеры. Экономическая интерпретация числа e: предельный случай непрерывного начисления процентов.
  • Тема 1.4. Предел Функции
    Понятие предела функции по Гейне и Коши. Пределы на бесконечности и бесконечные пределы. Односторонние пределы. Свойства пределов функции: локальные, арифметические, связанные с неравенствами. Замена переменных в пределе. Первый и второй замечательные пределы и их следствия. Экономические примеры. Предельные значения параметров в различных экономических и финансовых моделях (формула аннуитета, производственные функции, функции полезности и др.). Символы Ландау (O-о-символика). Эквивалентность функций. Таблица основных эквивалентностей. Свойства отношения эквивалентности. Использование эквивалентностей при вычислении пределов. Асимптоты функции. Теорема о существовании наклонной асимптоты. Экономические примеры. Асимптотическое поведение экономических показателей в различных моделях. Асимптоты функций спроса Торнквиста, асимптотическое поведение производственной функции в различных моделях роста. Правило семидесяти.
  • Тема 1.5. Понятие непрерывной функции
    Понятие непрерывной функции. Точки разрыва и их классификация. Локальные свойства непрерывных функций: локальная ограниченность непрерывных функций, сохранение знака непрерывной функцией, непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций. Теорема Вейерштрасса об ограниченности и о достижимости точных граней непрерывной на отрезке функции. Теорема Коши о нулях непрерывной функции. Метод деления отрезка пополам. Задача локализации корней с заданной точностью. Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении непрерывной функции. Теорема о существовании об-ратной непрерывной функции к непрерывной строго монотонной функции. Экономические примеры. Обратные функции спроса и предложения.
  • Тема 1.6. Понятие производной функции и дифференциала
    Определение производной функции. Геометрический и экономический смысл производной. Вычисление производной по определению. Таблица производных простейших элементарных функций. Правила нахождения производной. Производная композиции функций. Замкнутость класса элементарных функций относительно дифференцирования. Производная параметрически заданной функции. Производная функции, заданной неявно. Производная обратной функции. Логарифмическая производная и эластичность функции. Односторонние и бесконечные производные. Экономические примеры. Предельный доход фирмы, предельная производительность труда и др. Эластичность функций спроса от дохода. Процентная ставка как относительная скорость изменения функции дохода при непрерывном начислении процентов. Соотношения между предельным и средним доходом фирмы, между предельными и средними издержками. Понятие дифференцируемой функции и дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала для приближенных вычислений. Теорема о связи производной и дифференцируемой функции. Инвариантность формы записи 1-го дифференциала. Необходимое условие существования экстремума дифференцируемой функции (теорема Ферма). Теорема Лагранжа о среднем значении и ее следствия: формула конечных приращений. Теорема Коши о среднем значении. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Экономические примеры. Задачи максимизации функции полезности и минимизации затрат (случай одной переменной).
  • Тема 1.7. Производные и дифференциалы высших порядков, формула Тейлора
    Производные и дифференциалы высших порядков. Производные n-го порядка параметрически заданной и неявно заданной функций. Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций. Понятие многочлена Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, в форме Пеано. Единственность представления формулой Тейлора. Многочлены Маклорена основных элементарных функций. Достаточные условия экстремума. Экономические примеры. Задачи максимизации функции полезности и минимизации затрат (случай одной переменной), продолжение. Уточненное правило семиде-сяти.
  • Тема 1.8. Приложения дифференциального исчисления функций одной переменной
    Исследование функции с помощью производных. Исследование функции на монотонность: определение монотонной функции и критерий монотонности дифференцируемой функции. Исследование функции на экстремум: необходимое условие экстремума (теорема Ферма), 1-е достаточное условие экстремума (в терминах изменения знака первой производной), 2-е достаточное условии экстремума (в терминах старших производных). Понятие выпуклой (вогнутой) дифференцируемой функции и точек перегиба. Достаточное условие выпуклости, достаточное условие существования точки перегиба. Экономические примеры. Выпуклые задачи максимизации функции полезности и минимизации затрат (случай одной переменной).
  • Тема 2.1. Множества и функции в n-мерном метрическом пространстве
    Множество n-мерных строк R^n, сложение строк и умножение строк на вещественные числа. Норма элемента в R^n, геометрическая интерпретация нормы. Декартовы координаты точек плоскости и пространства. Расстояние между элементами в R^n, как норма их разности. Окрестность точки. Ограниченные множества. Внутренние и граничные точки множества. Граница множества. Открытые, замкнутые множества. Компакты. Открытые и замкнутые множества, задаваемые системами уравнений и неравенств. Последовательности в R^n и их пределы. Основные свойства открытых и замкнутых множеств. Характеризация компактов. Экономические примеры. Бюджетное множество, технологическое множество. Числовые функции многих переменных (ФМП). Понятие линий и поверхностей уровня ФМП. Элементарные ФМП. Прямые и гиперплоскости в R^n. Выпуклые множества. Выпуклая оболочка множества. Теоремы об отделимости. Экономические примеры. Многомерные экономические модели.
  • Тема 2.2. Предел и непрерывность ФМП
    Предел ФМП. Теорема о связи предела ФМП с пределами ее компонент. Предел по направлению. Теорема о вычислении предела функции двух переменных в полярных координатах. Непрерывные ФМП. Непрерывность элементарных ФМП. Непрерывные кривые и поверхности, и их параметризации. Линейно связные множества. Локальные свойства непрерывных ФМП. Теорема о прообразах открытых и замкнутых множеств при непрерывном отображении. Экономические примеры. Производственные функции (Кобба-Дугласа, Леонтьева и др.), функции полезности; бюджетное множество. Свойства функций, непрерывных на компактном множестве: теорема Вейерштрасса, теорема об образе компактного множества при непрерывном отображении. Образ линейно связного множества. Экономические примеры. Достижимость максимальных и минимальных значений функций полезности при естественных ограничениях.
  • Тема 2.3. Дифференцируемые ФМП
    Частные производные ФМП. Эластичность ФМП по фиксированной переменной. Понятие дифференцируемой ФМП; первый дифференциал. Необходимое условие дифференцируемости ФМП. Примеры дифференцируемых и недифференцируемых ФМП. Достаточное условие дифференцируемости. Экономические примеры. Интерпретация частных производных производственных функций. Пример производной производственной сложной функции (капитал и труд зависят от времени). Производственные функции и функции полезности со свойством CES. Теорема о дифференцируемости сложной ФМП. Правило вычисления дифференциала сложной ФМП. Инвариантность первого дифференциала. Понятие касательной плоскости и нормальной прямой к поверхности уровня. Геометрический смысл дифференциала. Градиент и его основные свойства. Производная по направлению. Необходимое условие экстремума дифференцируемой ФМП. Понятие стационарных и седловых точек. Экономические примеры. Задачи максимизации функции полезности и минимизации затрат (случай ФМП).
  • Тема 2.4. Частные производственные и дифференциалы высших порядков ФМП. Формула Тейлора.
    Частные производные высших порядков ФМП. Теорема об условиях равенства смешанных производных. Дифференциал второго порядка ФМП. Матрица Гессе. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для ФМП с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Пеано. Достаточное условие экстремума ФМП. Экономические примеры. Задачи максимизации функции полезности и минимизации затрат (случай нескольких переменных), продолжение. Основные задачи безусловной оптимизации. Метод наименьших квадратов. Понятие об уравнении регрессии. Экономические примеры. Задачи максимизации функции полезности и минимизации затрат (случай нескольких переменных), продолжение; дискретная задача о пространственном оптимальном размещении объектов (магазинов, складов и т.д.), эконометрические приложения (уравнение линейной регрессии).
  • Тема 2.5. Неявно заданные ФМП и отображения
    Понятие неявно заданной функции. Теорема о существовании, непрерывности и дифференцируемости неявной функции, задаваемой одним уравнением (схема доказательства). Понятие неявно заданной векторной функции и теорема об её существовании и дифференцируемости (без доказательства). Вычисление эластичности неявно заданных функций. Теорема о гладкой зависимости безусловных экстремумов от параметров. Теорема об огибающей для безусловных экстремумов. Экономические примеры. Пример неявной производственной функции и ее частных производных, эластичность замещения. Понятие регулярного отображения и теорема о существовании локально обратимого отображения. Условия зависимости системы числовых функций. Экономические примеры. Модель национального дохода, обратные задачи в моделях рынка. Однородные функции. Однородность частных производных однородной функции. Теорема Эйлера об однородных функциях. Кривые Энгеля для однородной функции полезности. Поверхности уровня однородных функций. Поверхности уровня однородных функций. Экономические примеры. Производственная функция Кобба-Дугласа. Приложения однородных функций в теории потребления. Однородные CES-функции.
  • Тема 2.6. Задача на условный экстремум
    Задача на условный экстремум для функции многих переменных: определение точки условного экстремума функции многих переменных при наличии связей в виде равенств. Метод подстановки решения задачи на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Необходимое условие существования условного экстремума для дифференцируемой функции и дифференцируемых функций уравнений связи. Экономические примеры. Экономический смысл множителей Лагранжа. Понятие теневых цен. Задачи оптимизации в экономике. Достаточное условие существования условного экстремума для дифференцируемой функции и дифференцируемых функций уравнений связи. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на компакте, метод параметризации границ. Экономические примеры. Задачи выбора товаров, максимизирующего функцию полезности при бюджетном ограничении; двойственная (хиксианская) задача минимизации затрат потребителя на приобретение набора благ при условии ограничений снизу на полезность наборов, спрос Хикса; задача минимизации издержек при заданном объеме выпуска продукции. Зависимость безусловных и условных экстремумов от параметров. Теорема об огибающей для условных экстремумов.
  • Тема 2.7. Выпуклые множества и ФМП в метрическом пространстве
    Элементы выпуклого анализа. Свойства выпуклых (вогнутых) функций: о выпуклости области определения, о выпуклости положительной линейной комбинации выпуклых функций, о непрерывности выпуклых функций, о максимуме (минимуме) выпуклых (вогнутых) функций. Критерии выпуклости непрерывно дифференцируемой функции. Экстремальные свойства выпуклых функций. Экономические примеры. Выпуклые задачи в экономике. Задачи оптимизации с ограничениями типа неравенств. Условия Каруша — Куна — Таккера. Экономические примеры. Выпуклые задачи в экономике (продолжение). Метод опорных векторов в задачах кредитного скоринга (решение задачи).
  • Тема 3.1. Неопределенный интеграл
    Понятие первообразной и неопределенного интеграла функции. Свойства не-определенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов основных функций. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Примеры. Экономические примеры. Задача о нахождении функции с заданной характеристикой изменения роста (населения, производства продукции и пр.), изменения цены. Интегрирование рациональных функций: понятие рациональной дроби, правильная и неправильная рациональные дроби, выделение целой части в неправильной дроби, понятие простых дробей, теорема о разложении на множители многочлена с действительными коэффициентами, теорема о разложении правильной дроби в сумму простых дробей, интегрирование простых дробей. Понятие рационализируемого интеграла. Интегрирование рационально-тригонометрических функций, частные случаи интегрируемости рационально-тригонометрических функций. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций.
  • Тема 3.2. Определенный и несобственный интегралы
    Определенный интеграл. Определение определенного интеграла Римана: понятия разбиения, мелкости разбиения, интегральной суммы. Необходимое условие интегрируемости функции. Критерий интегрируемости в терминах сумм Дарбу. Примеры неинтегрируемых функций. Экономические примеры. Экономические модели: инвестиции и капитал, чистая приведенная стоимость (NPV) инвестиций в непрерывном случае. Некоторые классы интегрируемых функций: интегрируемость непрерывных функций, интегрируемость монотонных ограниченных функций. Критерий интегрируемости по Лебегу, понятие множества меры нуль. Примеры вычисления определенных интегралов по определению. Свойства определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Формулы за-мены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла. Несобственные интегралы. Экономические примеры. Экономические модели: чистая приведенная стоимость (NPV) инвестиций в бессрочном случае. Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства: условия непрерывности и дифференцируемости. Теорема о существовании первообразной непрерывной функции. Интегралы, зависящие от параметров. Некоторые приложения определенного интеграла. Теорема об интегральном представлении функций. Площадь криволинейно трапеции и обобщенной криво-линейной трапеции. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.
  • Тема 3.3. Кратные интегралы
    Кратные интегралы. Мотивация введения кратного интеграла: геометрические и экономические задачи. Понятие измеримого множества и его меры в R^n (меры Жордана), свойства меры Жордана. Понятие множества меры нуль. Критерий измеримости множества. Понятие кратного интеграла по измеримому множеству (разбиение множества, мелкость разбиения, выборка точек в разбиении, интегральная сумма). Критерии интегрируемости, классы интегрируемых функций. Свойства кратных интегралов. Вычисление кратных интегралов с помощью повторных. Примеры. Замена переменных в кратном интеграле. Экономические примеры. Экономические задачи (объем выпуска при заданной пространственной плотности размещения производства, объем трафика при заданной плотности распределения источников и т.д.).
  • Тема 4.1. Числовые ряды
    Числовые ряды. Частичные суммы, сходимость ряда и его сумма. Необходимое условие сходимости и его отрицание. Примеры. Свойства сходящихся числовых рядов. Критерий Коши сходимости числового ряда и его отрицание. Гармонический ряд. Абсолютная и условная сходимость рядов. Признаки сходимости рядов с не-отрицательными членами: признак ограниченности, признаки сравнения, интегральный признак, признак Даламбера, радикальный признак Коши. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница, оценка остатка. Экономические примеры. Задача о нахождении рыночной цены бессрочной облигации. Задача об оценке прибыли от инвестиций.
  • Тема 4.2. Функциональные ряды
    Функциональные последовательности и ряды. Поточечная, на множестве и равномерная сходимости последовательностей и рядов. Условия равномерной сходимости функциональных рядов, признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости, формула Коши-Адамара. Равномерная сходимость степенного ряда, его дифференцируемость и интегрируемость. Ряд Тейлора. Условия представимости функции своим рядом Тейлора. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора. Примеры. Приложения рядов к приближенным вычислениям.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Письменная контрольная работа №1 на 90-120 минут
  • неблокирующий Письменный контрольная работа №2 на 90-120 минут
  • неблокирующий Письменная контрольная работа №3 на 90-120 минут
  • неблокирующий Письменная контрольная работа №4 на 90-120 минут
  • неблокирующий Домашнее задание
  • блокирующий Письменная экзаменационная работа за осенний семестр
  • блокирующий Письменная экзаменационная работа за весенний семестр
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    Экзаменационные работы состоят из 10 заданий. Время выполнения экзаменационной работы ‒ 160 минут. Полное правильное решение задания на экзаменационной работе оценивается в один балл. В случае неполного решения оценка может дробиться. По итогам выполнения каждой из двух контрольных работ студенты освобождаются от решения от 0 до 3-х задач экзамена (получают заранее условную единицу за задачу). Номера засчитанных задач отсчитываются подряд от первой для контрольной работы №1, от пятой для контрольной работы №2. Первичное количество баллов (N), полученное студентом на экзаменационной работе, переводится в итоговую десятибалльную оценку по правилу: N=0 - 0 0<N<1,5 - 1 1,5≤N<3 - 2 3≤N<4,5 - 3 4,5≤N<5,5 - 4 5,5≤N<6 - 5 6≤N<7 - 6 7≤N<8 - 7 8≤N<9 - 8 9≤N<9,5 - 9 9,5≤N≤10 - 10
  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    Экзаменационные работы состоят из 10 заданий. Время выполнения экзаменационной работы ‒ 160 минут. Полное правильное решение задания на экзаменационной работе оценивается в один балл. В случае неполного решения оценка может дробиться. По итогам выполнения каждой из двух контрольных работ студенты освобождаются от решения от 0 до 3-х задач экзамена (получают заранее условную единицу за задачу). Номера засчитанных задач отсчитываются подряд от первой для контрольной работы №3, от пятой для контрольной работы №4. Первичное количество баллов (N), полученное студентом на экзаменационной работе, переводится в итоговую десятибалльную оценку по правилу: N=0 - 0 0<N<1,5 - 1 1,5≤N<3 - 2 3≤N<4,5 - 3 4,5≤N<5,5 - 4 5,5≤N<6 - 5 6≤N<7 - 6 7≤N<8 - 7 8≤N<9 - 8 9≤N<9,5 - 9 9,5≤N≤10 - 10
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • - Бесов О.В. — Лекции по математическому анализу - Издательство "Физматлит" - 2014 - ISBN: 978-5-9221-1506-3 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/59678
  • - Бесов О.В. — Лекции по математическому анализу - Издательство "Физматлит" - 2016 - ISBN: 978-5-9221-1665-7 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/91150
  • - Демидович Б.П. — Сборник задач и упражнений по математическому анализу: учебное пособие - Издательство "Лань" - 2019 - ISBN: 978-5-8114-3985-0 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/113942
  • - Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И. — Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость - Издательство "Физматлит" - 2010 - ISBN: 978-5-9221-0306-0 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/2226
  • - Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И. — Сборник задач по математическому анализу. Том 2. Интегралы. Ряды - Издательство "Физматлит" - 2009 - ISBN: 978-5-9221-0307-7 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/2227
  • - Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И. — Сборник задач по математическому анализу. Том 3. Функции нескольких переменных - Издательство "Физматлит" - 2003 - ISBN: 5-9221-0308-3 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/2220

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Anthony, M., & Biggs, N. (1996). Mathematics for Economics and Finance : Methods and Modelling. Cambridge [England]: Cambridge eText. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=510977
  • Jacques, I. (2015). Mathematics for Economics and Business (Vol. 8th ed). Harlow: Pearson. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=1419610
  • Vinogradov, V. V. (2010). Mathematics for Economists. University of Chicago Press. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsrep&AN=edsrep.b.ucp.bkecon.9788024616575
  • Краснова С. А., Уткин В. А.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ В 2 Ч. ЧАСТЬ 1. Учебник и практикум для вузов-М.:Издательство Юрайт,2019-298-Высшее образование-978-5-9916-6383-0, 978-5-9916-6979-5: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-dlya-ekonomistov-v-2-ch-chast-1-433695
  • Математический анализ и дифференциальные уравнения : учебник для вузов, Бурмистрова Е. Б., Лобанов С. Г., 2010
  • Рудык Б. М., Татарников О. В.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. Учебник и практикум для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-356-Бакалавр. Академический курс-978-5-9916-9426-1: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-dlya-ekonomistov-433241