2021/2022

Математические модели: как придумывать и как считать

Статус: Маго-лего

Кто читает: Департамент математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Шемендюк Александр Андреевич

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 60

Программа дисциплины

Аннотация

Спектр современных математических моделей чрезвычайно широк. Они используются в самых разных областях науки и техники. Возможности их практического применения возросли с появлением и развитием вычислительной техники. Для построения некоторых из этих моделей достаточно знаний обязательного курса математики технического вуза, для других нужны небольшие его расширения, для третьих нужен специальный математический аппарат. В предлагаемом курсе МАГОЛЕГО, рассчитанном на 60 аудиторных часов, предполагается рассмотреть модели первого и второго сортов, основанных на разностных и дифференциальных уравнениях, обыкновенных и в частных производных, а также началах теории вероятности. Области знания: биология, физика, демография, химия, теория теплопроводности и диффузии, распространение волн, линейное и нелинейное, метеорология, упругие колебания, случайные блуждания. Предполагается, что слушатели будут выполнять домашние задания с применением компьютеров (т.е. некоторые навыки программирования уже имеют) и будут применять численные алгоритмы, которые будут обсуждаться одновременно с самими моделями. Автор курса надеется, что полученные знания и навыки исследования моделей будут эффективно использованы слушателями не только при выполнении курсовых работ и ВКР, но и в их дальнейшей научной деятельности.

Цель освоения дисциплины

• Слушатель ознакомится с основными методами построения математических моделей различных явлений и процессов и с математическим аппаратом, позволяющим качественно и количественно исследовать решения, полученные с помощью этих моделей. Будут разбираться и теоретические вопросы, и конкретные примеры. Слушатели приобретут навыки компьютерного решения различных задач. Слушатели приобретут навыки графического представления информации и анализа полученных визуализаций. Слушатели существенно расширят знания, полученные в базовом курсе математики.

Планируемые результаты обучения

• Студент владеет методикой сплайн-интерполяции и умеет применять метод прогонки
• Студент знает и умеет применять самостоятельно компьютерные методы исследования таких уравнений, например, методы Рунге - Кутты
• Студент знает и умеет применять самостоятельно компьютерные методы исследования таких уравнений, например, разностные методы интегрирования в эволюционных моделях и итерационные методы решения сеточных уравнений
• Студент знает и умеет решать классические задачи вариационного исчисления. Студент умеет выводить уравнение Эйлера и уравнение Якоби для различных интегральных функционалов. Студент умеет выводить граничные условия трансверсальности. Студент умеет применять компьютерные методы поиска оптимальных решений, кривых, траекторий и т. п. Студент знаком с компьютерными методами минимизации интегральных функционалов. Студент умеет реализовывать различные варианты метода наименьших квадратов.
• Студент знает основные качественные методы исследования обыкновенных дифференциальных уравнений
• Студент знает основные качественные методы исследования, такие как преобразование Фурье и метод Фурье разделения переменных
• Студент знает основные математические модели с дискретным временем, умеет объяснить их вывод, границы применимости. Студент умеет составлять и решать аналитически и на компьютере конечно-разностные уравнения. Студент умеет оценивать устойчивость стационарных решений. Студент умеет составлять компьютерные программы для численного исследования различных рекуррентных формул. Студент умеет графически представлять информацию с помощью компьютера.
• Студент знаком с математическими моделями, использующими дифференциальные уравнения в частных производных и граничные условия для них
• Студент знаком с математическими моделями, использующими обыкновенные дифференциальные уравнения, в физике, механике, демографии, биологии, экономике и т. д.
• Студент умеет составлять компактные разностные схемы для различных задач и реализовывать их на компьютере
• Студент умеет строить такие модели, умеет проводить качественные исследования (например, исследование устойчивости стационарных точек и периодических решений)
• Студент умеет строить такие модели, умеет проводить качественные исследования (например, оценивать гладкость решения, рост нормы решения)

Содержание учебной дисциплины

• Модели с дискретным временем. Рекуррентные формулы и конечно-разностные уравнения. Вероятность и ее перераспределение.
• Модели с непрерывным временем и обыкновенные дифференциальные уравнения.
• Модели для явлений, распределенных в пространстве и времени. Уравнения в частных производных.
• Оптимизация и вариационное исчисление

Элементы контроля

• Домашние задания
  При выполнении ДЗ можно использовать литературу, но нельзя использовать чужие решения. При ответе на теоретические вопросы плагиат недопустим. Ответ должен быть написан самостоятельно
• Зачет
  Выполнение задания должно быть полностью самостоятельным.
• Экзамен
  Работа выполняется полностью самостоятельно.

Промежуточная аттестация

• 2021/2022 учебный год 4 модуль
  0.4 * Экзамен + 0.2 * Зачет + 0.4 * Домашние задания

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Вариационное исчисление : задачи и примеры с подробными решениями: учеб. пособие для вузов, Краснов, М. Л., 2014
• Вариационное исчисление : учебник для вузов, Эльсгольц, Л. Э., 2008
• Вариационное исчисление и оптимальное управление : учебник для вузов, Ванько, В. И., 2001
• Введение в теорию случайных процессов : учеб. пособие для вузов, Розанов, Ю. А., 1982
• Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Арнольд, В. И., 2000
• Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, Арнольд, В. И., 2009
• Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах, Васильева, А. Б., 2005
• Дифференциальные и разностные уравнения : какие явления они описывают и как их решать: учеб. пособия для вузов, Гордин, В. А., 2016
• Дифференциальные и разностные уравнения: Какие явления они описывают и как их решать : Учебное пособие, Гордин, В.А., 2016
• Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений : уч. пособие, Арнольд, В. И., 1978
• Исчисление конечных разностей : учеб. пособие для ун-тов, Гельфонд, А. О., 1967
• Как это посчитать? Обработка метеорологической информации на компьютере : идеи, методы, алгоритмы, задачи, Гордин, В. А., 2005
• Лекции об уравнениях с частными производными, Арнольд, В. И., 2017
• Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений : учебник для мех.-мат. фак. ун-тов, Петровский, И. Г., 1970
• Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений : учебник, Петровский, И. Г., 2009
• Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики : учеб. пособие для вузов, Гордин, В. А., 2010
• Обыкновенные дифференциальные уравнения : учеб. пособие для вузов, Арнольд, В. И., 1984
• Обыкновенные дифференциальные уравнения, Арнольд, В. И., 2000
• Обыкновенные дифференциальные уравнения, Арнольд, В. И., 2012
• Разностные схемы : введение в теорию, Годунов, С. К., 1977
• Случайные процессы : краткий курс : учеб. пособие для вузов, Розанов, Ю. А., 1979
• Случайные процессы : краткий курс : учеб. пособие, Розанов, Ю. А., 1971
• Уравнения математической физики : учеб. пособие, Годунов, С. К., 1979