• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Симметрии, представления и комплексный анализ

2021/2022
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
6
Кредиты
Статус:
Курс по выбору
Когда читается:
1-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватель

Программа дисциплины

Аннотация

Курс «Симметрии, представления и комплексный анализ» знакомит студентов с алгебрами симметрий, в том числе, нелиевского типа, возникающими в широко известных физических моделях. В рамках курса изучаются методы исследования этих алгебр. Для квантовых алгебр изучается конструкция неприводимых представлений в гильбертовых пространствах полиномов и соответствующие когерентные состояния. Для пуассоновых алгебр проводится анализ симплектических листов. На модельных примерах демонстрируется метод решения спектральных задач с помощью когерентного преобразования, т.е. интегрального преобразования, ядром которого является когерентное состояние.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Ознакомление студентов с алгебрами симметрий, в том числе, нелиевского типа, возникающими в широко известных физических моделях, методами исследования этих алгебр (построение неприводимых представлений и когерентных состояний для квантовых алгебр; анализ симплектических листов для соответствующих пуассоновых алгебр), методом решения спектральных задач с помощью когерентного преобразования (т.е. интегрального преобразования, ядром которого является когерентное состояние)
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знает наиболее известные интегрируемые системы и соответствующие алгебры симметрий.
  • Умеет строить неприводимые представления и когерентные состояния алгебр со структурой "рождение-уничтожение".
  • Знает схему метода когерентного преобразования.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Алгебры симметрий
    Одномерный гармонический осциллятор и алгебра Гейзенберга. Двумерный изотропный гармонический осциллятор и алгебра su(2). Сингулярный осциллятор и алгебра su(1,1).Алгебра SO(4) для четырехмерного изотропного гармонического осциллятора и для движения частицы в кулоновском поле. Регуляризация Кустаанхеймо.Нелиевские подалгебры симметрий в задачах квантовой механики. Структура «рождение-уничтожение». Вакуумный вектор. Операторы Казимира. Эффект Зеемана и алгебра с квадратичными коммутационными соотношениями.Резонансные алгебры. Алгебра резонансного эффекта Зеемана-Штарка. Атом-монополь в магнитном поле (модель МиК-Кеплера)
  • Пуассонова структура и неприводимые представления динамической алгебры
    Основные понятия: представление алгебры в гильбертовом пространстве; векторная и операторная неприводимость и их связь; размерность представления; эквивалентные представления; когерентные состояния; воспроизводящее ядро; воспроизводящая мера. Метод построения неприводимых представлений алгебр (в том числе, нелиевских) со структурой «рождение-уничтожение». Конструкция когерентных состояний.Соответствие неприводимых представлений квантовой алгебры и симплектических листов пуассоновой алгебры. Построение неприводимых представлений и когерентных состояний для примеров из темы 1
  • Когерентное преобразование
    Когерентное преобразование спектральной задачи. Общая схема. Точное решение задачи и решение в квазиклассическом приближении. Когерентное преобразование усредненной спектральной задачи для двумерного изотропного ангармонического осциллятора.Когерентное преобразование усредненной спектральной задачи для эффекта Зеемана.Решение усредненной спектральной задачи для эффекта Зеемана в квазиклассическом приближении
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашнее задание
  • неблокирующий Работа на семинаре
  • неблокирующий Экзамен
  • неблокирующий Контрольно-измерительные материалы
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.2 * Домашнее задание + 0.2 * Работа на семинаре + 0.6 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Tapp K. Symmetry A Mathematical Exploration// Springer // https://www.springer.com/gp/book/9781461402985#otherversion=9781461402992
  • Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование, Карасев, М. В., 1991
  • Элементы теории представлений, Кириллов, А. А., 1978

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Aydın Aytuna, Reinhold Meise, Tosun Terzioğlu, & Dietmar Vogt. (2011). Functional Analysis and Complex Analysis. [N.p.]: AMS. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=974875
  • Метод вторичного квантования, Березин, Ф. А., 1965