• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
2021/2022

Математические модели и дифференциальные уравнения

Статус: Майнор
Когда читается: 1, 2 модуль
Язык: русский
Кредиты: 5

Программа дисциплины

Аннотация

Динамика огромного количества явлений описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями и системами, линейными и нелинейными. Рост отдельного организма и размножение популяции при отсутствии ограничений на ресурс и его наличии, при наличии двух популяций: хищников и жертв или друг друга не трогающих, но конкурирующих за общий ресурс, модель экономического развития или модель развития эпидемии, модель воюющих орд, химическая кинетика, колебания различных маятников, с трением и без, резонансные явления. В курсе будут объясняться различные методы аналитического решения, анализироваться корректность задачи Коши, выясняться существование и единственность краевой задачи. Важные практические вопросы: существование стационарных и периодических решений и их устойчивость. Во многих случаях для ответа полезно использовать первые интегралы модели (типа сохраняющихся энергии или момента импульса системы). Для линейных уравнений и систем полезны метод Лагранжа (позволяющий по известным решениям однородной задачи строить решения неоднородной) и преобразование Лапласа (позволяющее свести решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами к алгебраическим преобразованиям. В тех случаях, когда аналитическое решение уравнения или системы невозможно, применяются численные методы. Для решения задачи Коши популярны методы Рунге – Кутты, которые будут в курсе отрабатываться на программистских семинарах. Император Наполеон ценил свое время и деньги. Но он пригласил в Тюильри Хладни. Тот насыпал на квадратную пластинку опилки, и стал по ее краю водить смычком. Опилки собирались вдоль определенных линий. «Он сделал видимым звук». Посмотреть можно тут: https://habr.com/ru/post/406637/ или тут: https://www.youtube.com/watch?v=ahkgm6yy_BU Наполеон смотрел и слушал ученого два часа и дал денег на публикацию. Был объявлен конкурс на математическую модель. Приз после нескольких не совсем удачных попыток получила Софи Жермен (заметен вклад комментариев Лагранжа). Для описания явления было получено уравнение в частных производных, и математика начала свою работу. Теперь эти уравнения применяют для расчетов вибраций в пластинах, лопастях турбин, крыльев самолетов и т.п. В курсе мы изучим, как распространяется тепло по сковородке, как волна на струне или мембране барабана отражается от границы, как вибрирует стержень после удара (поперечного или продольного) как бежит волна воды вдоль канала и импульс по нервному волокну, как вычислить справедливую цену на опционы и т.д. Мы покажем, как эти модели получаются из наблюдений и логическими построениями, и какие выводы, качественные и количественные, можно получить с помощью математического аппарата и применения компьютеров. Мы обсудим проблему корректности решения задачи Коши, – в каких случаях шумы в исходных данных могут при решении нарастать сколь угодно быстро со временем. Будет показано, как интегральные преобразования позволяют решать уравнения во всем пространстве, а разложения в ряды Фурье – в ограниченных областях. Выясним, чем важна правильная постановка граничных условий в краевой и смешанной задачах.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Показать на многочисленных примерах из различных областей науки, техники, экономики эффективность математических моделей, основанных для дифференциальных уравнениях, обыкновенных и в частных производных. Слушатели майнора должны будут на примерах познакомиться с идеями построения моделей (вывод дифференциальных уравнений и граничных условий для них) и изучить математическую теорию, позволяющую качественно и количественно исследовать решения соответствующих задач. Будут рассмотрены различные дискретные аппроксимации дифференциальных уравнений, позволяющие использовать компьютеры для приближенного решения этих задач. Будем изучать методы оценки точности и вычислительной трудоемкости этих алгоритмов. Нужно будет написать машинные коды для реализации этих алгоритмов. Речь идет как о работе со стандартными пакетами программ, так и об их самостоятельном написании. Анализ результатов будет сопровождаться построением различных визуализаций (графики, изолинии, видео). Будет существенно использован материал первых двух курсов майнора. Предполагается, что задачи такого рода будут возникать в будущей профессиональной деятельности слушателя. Если у него такая модель уже имеется на примете, то возможно написание курсовой работы, а впоследствии - ВКР.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Умеет решать простые типы ОДУ. Умеет доказывать теорему Вронского. Умеет пользоваться методом вариации постоянных для решения неоднородных уравнений. Умеет численно решить задачу Коши для системы ОДУ с использованием стандартных программ
  • Умеет вычислять прямое и обратное преобразование Лапласа от от элементарных функций, а также кусочно-постоянных и обобщенных. Умеет вычислить асимптотику решения при больших временах
  • Умеет определять тип стационарной точки для системы дифференциальных уравнений и неподвижной точки для системы разностных уравнений. Умеет оценивать их устойчивость. Умеет строить фазовый портрет в двумерном случае. Умеет оценивать устойчивость предельного цикла с помощью численных методов решения ОДУ и отображения Пуанкаре. Умеет оценивать устойчивость периодических точек разностных систем с помощью численных методов
  • Умеет строить модели, основанные на системах ОДУ для различных областей знаний, строить фазовые портреты, применять численные методы, осуществлять визуализацию полученных результатов и использовать ее для анализа решений
  • Умеет строить и программно реализовать алгоритмы решения задачи Коши для нелинейных систем ОДУ, и решения краевой задачи для линейных систем и уравнений.
  • Умеет оценивать асимптотику решений линейных ОДУ в окрестности регулярных сингулярных точек. Умеет комбинировать асимптотику и численное решение вне окрестности сингулярной точки
  • Умеет строить первые собственные числа и функции и проверять ортогональность этих функций. Умеет раскладывать произвольную функцию по собственному базису. Умеет строить из них функцию Грина краевой задачи. Умеет решать краевые задачи методом Фурье.
  • Умеет строить модели, основанные на урчп. Умеет анализировать различные типы граничных условий, а также условий стыковки. Умеет анализировать корректность решения задачи Коши и краевых задач. Умеет использовать метод разделения переменных для решения краевых задач.
  • Умеет вычислять преобразование Фурье от рациональных функций, кусочно-экспоненциальных функций, гауссианы. Умеет применять преобразование к решению урчп во всем пространстве и к решению задачи Коши.
  • Умеет строить и программно реализовать явные и неявные разностные схемы решения задачи Коши и краевых задач для эволюционных уравнений. Умеет проверять устойчивость разностных схем. Умеет применять различные прямые и итерационные методы решения СЛАУ с разреженными матрицами. Умеет визуализировать полученные решения и проводить и анализ решений, и анализ эффективности метода решения
  • Умеет строить модели, основанные на нелинейных урчп. Умеет использовать метод характеристик для построения гладких и разрывных решений квазилинейного уравнения. Умеет проверять условия гиперболичности. Умеет находить первые интегралы задач. Умеет находить автомодельные решения нелинейных урчп.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы
    Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод разделения переменных. Уравнения с постоянными коэффициентами. Случай кратных корней. Системы ОДУ. Неоднородные уравнения со специальной правой частью. Метод вариации постоянных. Системы уравнений с переменными и постоянными коэффициентами. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Почему непрерывности правой части недостаточно для единственности решения. Размерность пространства решений обыкновенного дифференциального уравнения. Определитель Вронского и его геометрический смысл. Метод Лагранжа вариации постоянных.
  • Операционное исчисление
    Преобразование Лапласа и операционное исчисление. Теорема о свертке. Обратное преобразование Лапласа. Функция Хевисайда и дельта-функция Дирака. Асимптотика при больших временах.
  • Устойчивость стационарных точек и предельных циклов.
    Стационарные точки системы ОДУ. Матрица Якоби. Классификация стационарных точек. Устойчивость по Ляпунову. Критерии устойчивости. Разностные аналоги. Предельные циклы, устойчивые и неустойчивые. Отображение Пуанкаре.
  • Модели, основанные на обыкновенных дифференциальных уравнениях и системах
    Модель Мальтуса. Модель распада изотопа со временем. Ослабление натяжения веревки, перекинутой через бревно. Логистическая модель динамики численности популяции. Модели фон Берталанфи и Гомперца. Модели войн. Модель рекламной компании. Модель Лотки – Вольтерры. Модель химической кинетики. ISF динамика эпидемии. Модели маятников разных типов, идеальных и диссипативных. Понижение порядка уравнения. Первый интеграл системы и второй метод Ляпунова.
  • Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем
    Разностные методы аппроксимации ОДУ. Методы типа Рунге – Кутты. Аппроксимация краевых задач.
  • Уравнения с сингулярностями
    Линейные дифференциальные уравнения с сингулярностями. Уравнение Эйлера. Уравнение Бесселя. Регулярные и нерегулярные особые точки. Пример решения уравнения с нерегулярной точкой. Определяющее уравнение. Степенные асимптотики решения в окрестности особой точки. Случай резонанса – логарифм в асимптотике решения.
  • Краевая задача и задача Штурма - Лиувилля
    Метод пристрелки. Функция Грина для краевой задачи. Ортогональность собственных функций. Зависимость собственных чисел от коэффициентов. Теорема Куранта. Асимптотика собственных чисел задачи Штурма – Лиувилля. Ряды Фурье и решение краевых задач.
  • Модели, основанные на уравнениях в частных производных
    Уравнения Пуассона, Гельмгольца, теплопроводности (диффузии), Шрёдингера, волновое, колебаний стержня и мембраны, телеграфное, Клейна - Гордона. Виды граничных условий. Метод разделения переменных для квадрата, круга, полукруга, цилиндра, шара. Уравнение Блэка – Шоулза – Мертона. Система уравнений Максвелла. Вывод. Теорема Коши – Ковалевской и решение задачи Коши. Понятие корректности задачи Коши. Пример Адамара и обратное уравнение теплопроводности. Задача Дирихле для уравнения Лапласа на полуплоскости. Случай разрывного коэффициента. Условия стыковки Кирхгофа.
  • Интегральные преобразования
    Интегральное преобразование Фурье. Теорема Планшереля. Обратное преобразование. Теорема о свертке. Решение уравнения теплопроводности во всем пространстве.
  • Численные методы для урчп.
    Разностные схемы для эволюционных уравнений. Компактные разностные схемы. Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Итерационные методы решения СЛАУ, аппроксимирующих эллиптические уравнения.
  • Нелинейные урчп.
    Уравнение Эйлера – Хопфа и характеристики. Уравнение Бейтмана – Бюргерса. Уравнение Кортевега – де Фриза и автомодельное солитонное решение. Уравнение Фишера – Колмогорова – Петровского – Пискунова.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашняя работа
  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий Оценка качества компьютерных программ, отлаженных на программистской части семинаров
  • неблокирующий Оценка ответов и решение задач на теоретической части семинаров
  • блокирующий Экзамен
    Включает теоретическую часть и решение задачи на компьютере.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.1 * Домашняя работа + 0.1 * Контрольная работа + 0.15 * Оценка качества компьютерных программ, отлаженных на программистской части семинаров + 0.15 * Оценка ответов и решение задач на теоретической части семинаров + 0.5 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • - Арнольд В.И. — «Жесткие» и «мягкие» математические модели - Московский центр непрерывного математического образования - 2013 - ISBN: 978-5-4439-2008-5 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/56387
  • - Арнольд В.И. — Обыкновенные дифференциальные уравнения - Московский центр непрерывного математического образования - 2012 - ISBN: 978-5-4439-2007-8 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/56392
  • - Гордин В.А. — Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики - Издательство "Физматлит" - 2010 - ISBN: 978-5-9221-1130-0 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/59516
  • - Наймарк М.А. — Линейные дифференциальные операторы. - Издательство "Физматлит" - 2010 - ISBN: 978-5-9221-1259-8 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/2749
  • - Петровский И.Г. — Лекции об уравнениях с частными производными - Издательство "Физматлит" - 2009 - ISBN: 978-5-9221-1090-7 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/59551
  • - Петровский И.Г. — Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений - Издательство "Физматлит" - 2009 - ISBN: 978-5-9221-1144-7 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/59554
  • Введение в теорию разностных схем, Самарский А. А., 1971
  • Дифференциальные и разностные уравнения : какие явления они описывают и как их решать: учеб. пособия для вузов, Гордин В. А., 2016
  • Курс высшей математики. Т. 1: ., Смирнов В. И., 1974
  • Курс высшей математики. Т. 2: ., Смирнов В. И., 1974
  • Лекции об уравнениях с частными производными, Арнольд, В. И., 2017
  • Линейные и нелинейные волны, Уизем Дж., Жаринова В. В., 1977
  • Математическое моделирование : идеи, методы, примеры, Самарский А. А., Михайлов А. П., 2002
  • Методы решения сеточных уравнений : учеб. пособие для вузов, Самарский А. А., Николаев Е. С., 1978
  • Разностные методы решения краевых задач, Рихтмайер Р., Мортон К., 1972
  • Решение обыкновенных дифференциальных уравнений : нежесткие задачи, Хайрер Э., Нерсетт С., 1990
  • Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования : с приложением таблиц, составленных Р.Гершелем, Дёч Г., Вольперта Г. А., 1971
  • Рябенький, В. С. Введение в вычислительную математику [Электронный ресурс] / В. С. Рябенький. - 3-е изд., испр. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 288 с. - (Физтеховский учебник). - ISBN 978-5-9221-0926-0. - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/544692
  • Уравнения в частных производных математической физики : учеб. пособие для вузов, Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., 1970
  • Уравнения математической физики : учеб. пособие, Годунов С. К., 1979
  • Функциональный анализ : (некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений и теории функций), Алиев Р. М., Алиханова Р. И., 1967
  • Численные методы : учеб. пособие для вузов, Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., 2002

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Интегральные преобразования обобщенных функций, Брычков Ю. А., Прудников А. П., 1977
  • Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений : учеб. пособие для вузов, Матвеев Н. М., 2003
  • Таблицы интегральных преобразований. Т.1: Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина, Бейтмен Г., Эрдейи А., 1969