• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Линейная алгебра

2021/2022
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
4
Кредиты
Статус:
Курс обязательный
Когда читается:
2-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватели

Программа дисциплины

Аннотация

Курс "Линейная алгебра" направлен на знакомство студентов с основными понятиями и методами линейной алгебры. При изучении этого курса студенты получат знания о современной алгебре и её месте в математике, познакомятся с понятиями систем линейных уравнений, векторных пространств, матриц, а также научатся решать стандартные задачи линейной алгебры и применять методы линейной алгебры в других математических и физических дисциплинах. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях, полученных студентами при освоении школьного курса математики. Основные положения дисциплины используются в дальнейшем при изучении таких дисциплин, как "Дифференциальные уравнения", "Теория вероятностей", а также профильных биологических дисциплин.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Формирование и развитие у студентов структурно-алгебраического мышления и умения видеть общие алгебраические конструкции в различных областях математики
  • Освоение фундаментальных понятий и вычислительных методов линейной алгебры
  • Наработка опыта использования и применения изучаемых методов к исследованию и решению конкретных задач
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Освоение методов решения систем линейных уравнений
  • Знакомство с основными понятиями линейной алгебры
  • Знакомство с основными понятиями и методами линейной алгебры и отработка навыков их применения при решении задач
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Системы линейных уравнений
    Методы системы решения линейных уравнений. Метод Гаусса. Фундаментальная система решений.
  • Векторные пространства
    Векторное пространство, базис и размерность. Векторные подпространства, свойства подпространств. Сопряженное пространство.
  • Линейные отображения
    Линейные отображения. Матрицы линейных отображений. Композиция линейных отображений и произведение матриц. Ядро и образ линейного отображения. Сопряженное отображение.
  • Линейные операторы
    Линейные операторы. Определитель линейного оператора. Определитель композиции операторов.
  • Скалярное произведение
    Скалярное произведение. Ортогонализация Грама-Шмидта.
  • Билинейные и квадратичные формы
    Симметрические билинейные формы и квадратичные формы. Поляризация. Диагонализуемость. Методы Лагранжа и Якоби. Индекс инерции квадратичной формы, критерий Сильвестр
  • Евклидово и эрмитово пространство
    Евклидово и эрмитово пространство. Метрическая геометрия. Псевдоевклидово пространство, пространство Минковского.
  • Векторное пространство с оператором
    Преобразование линейного оператора при смене базиса. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен. Диагонализуемость.
  • Евклидово и эрмитово пространство с оператором
    Симметрические, кососимметрические, ортогональные, эрмитовы, косоэрмитовы, унитарные операторы. Собственные значения, диагонализуемость. Линейные операторы и билинейные функции в пространстве со скалярным произведением.
  • Жорданова нормальная форма
    Корневые векторы. Разложение пространства с оператором в прямую сумму корневых подпространств. Нильпотентные операторы.
  • Группы
    Действие группы на множестве. Примеры: простейшие конечные группы, группы отражений, кристаллографические группы. Гомоморфизмы групп.
  • Тензоры
    Примеры тензоров. Двойственность и свертки. Симметрические и кососимметрические тензоры.
  • Кольца вычетов
    Изучение колец вычетов для целых чисел и для многочленов
  • Поля
    Изучение основ алгебраической теории конечных и бесконечных полей
  • Геометрия кватернионов, понимаемых как комплексные матрицы 2x2, инвариантные относительно вещественной структуры, переводящей стандартную эрмитову форму на пространстве матриц в поляризацию квадратичной формы det.
    Норма, обращение, образующие и соотношения. Корни уравнения q^2=-1 образуют сферу S^2 чисто мнимых кватернионов нормы 1. Сфера S^3 всех кватернионов нормы 1 — это унитарная группа SU(2), действие кватерниона q∈SU(2) сопряжением на пространстве I ≅ R^3 чисто мнимых кватернионов является поворотом вокруг прямой, которая высекается из I плоскостью П(q), порождённой 1 и q, на угол, равный удвоенному аргументу кватерниона q, рассматриваемого как комплексное число в плоскости П(q), отождествлённой с C по правилу x +iy∈С ↔ x∙1 + y∙v(q)∈П(q), где v(q) — единичный направляющий вектор прямой I ∩ П(q), глядя вдоль которого измеряется угол поворота пространства I относительно этой прямой. Универсальное накрытие Универсальное накрытие SU(2) →→ SO(3), расслоение Хопфа S^3 →→ S^2.
  • Группы
    Основы теории групп, включая действия групп на множествах
  • Линейная алгебра
    Изучение основ линейной алгебры
  • Линейные операторы и матрицы
    Определения: линейные операторы, матрица линейного оператора. Примеры: линейные отображения плоскости, умножение на многочлен и дифференцирование, умножение на элемент расширения полей. Матрица композиции двух линейных отображений с известными матрицами.
  • Векторные пространства
    Определения: векторные пространства над полем, подпространства, векторы, линейные комбинации векторов, линейная зависимость. Примеры: координатное пространство, кольцо многочленов над полем, расширение поля, пространства над полем из двух элементов.
  • Размерность и базисы
    Определения: порождающий набор, базис, размерность. Приведение матрицы к ступечатому виду элементарными преобразованиями строк. Классификация конечномерных векторных пространств. Замена координат.
  • Объёмы и определители
    Определения: равносоставленность, ориентированный объём параллелепипеда, определитель квадратной матрицы. Примеры: площадь параллелограмма, явные формулы для определителей порядка 1, 2 и 3. Определитель как объем. Формула разложения определителя по строке.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольные работы
  • неблокирующий Письменный экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (1 модуль)
    0.4 * Контрольные работы + 0.6 * Письменный экзамен
  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.2 * Контрольные работы + 0.6 * Письменный экзамен + 0.2 * Промежуточная аттестация (1 модуль)
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Курс алгебры, Винберг, Э. Б., 2013

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Лекции по линейной алгебре, Гельфанд, И. М., 1998