Протасов Владимир Юрьевич, профессор Департамента больших данных и информационного поиска факультета компьютерных наук (Москва)
НОМИНАЦИЯ «Достижение в науке»
Номинируется за цикл работ по динамическим системам с переключениями и их приложениям
Владимир Юрьевич Протасов является замечательным математиком, будучи специалистом весьма широкого кругозора, он имеет множество значительных результатов в функциональном анализе, спектральной теории линейных операторов, выпуклой геометрии и других областях. Под его научным руководством регулярно проходят защиты кандидатских диссертаций. Владимир Юрьевич часто бывает приглашенным профессором в различных университеты мира, в том числе, Шанхая, Л’Акуила, Лёвена. В Вышке на факультете компьютерных наук он читает обязательный курс по Дифференциальным уравнениям для второкурсников образовательной программы “Прикладная математика и информатика”, ведет семинары, участвует в выездных школах. После избрания членом-корреспондентом РАН, на сайте университета вышло большое интервью с В.Ю.Протасовым. Кроме того, он ведет просветительскую работу, проводит лекции для школьников и является постоянным участником различных летних математических школ.
В 2017 году В.Ю.Протасов опубликовал несколько работ, которые без преувеличения можно назвать прорывными в своей области. Работы исследуют динамические системы с переключениями, а также их приложения к теории всплесков, комбинаторной теории чисел и к прикладным задачам обработки сигналов. Линейной динамической системой с переключениями (linear dynamical switching system) называется дифференциальное уравнение на вектор-функцию x:
где n×n матрица системы A(t) выбирается произвольно для каждого t из заданного компактного семейства матриц A. Таким образом, A(·) – произвольная измеримая функция со значениями в A. Система называется устойчивой, если каждая ее траектория x(t) стремится к нулю при t → +∞ для любой функции A(t). Линейным системам с переключениями посвящена обширная литература, начиная с работ Молчанова, Пятницкого, Барабанова, Гурвица, и др. Проблема устойчивости систем с переключениями важна в робототехнике, электронной инженерии, математической экологии, при изучении мультиагентных систем, в задачах о консенсусе. Ей занимались много известных специалистов, например Антасаклис, Коланери, Паризини, Либерзон, Паррило, Джадбабай, Маргалиот и многие другие. Основным методом было построение функции Ляпунова системы – положительной однородной функции в R n, убывающей вдоль любой траектории. Наиболее популярной является квадратичная функция Ляпунова, которая, однако, дает довольно грубую оценку устойчивости. Попытки построить более точные функции Ляпунова, принадлежащие другим функциональным классам, неизбежно сталкивались с вычислительной сложностью задачи, даже в малых размерностях. В конце 90-х в работах Бланкини, Миани, Амато, Шортена и др. разрабатывалась теория полиэдральных (кусочно-линейных) функций Ляпунова. В теории они значительно точнее квадрати- ческих, но их практические реализации были пригодны лишь в маленьких размерностях (n = 2, 3, 4) из-за огромного числа вершин соответствующих многогранников. В работе [1] Протасовым совместно с Гулиелми и Лаглиа удалось получить ряд фундаментальных результатов о полиэдральных функциях, благодаря которым ими был построен метод эффективно работающий в больших размерностях (при n ≤ 20, а для положительных систем при n ≤ 100). На практике этот метод значительно эффективнее всех известных в литературе. В дальнейших работах Владимира Юрьевича [5] и [7] эти результаты были дополнительно усовершенствованны. В последней, написанной в соавторстве с Гулиелми и Чиконе, строится теория устойчивости линейных систем на произвольных графах. Динамические системы с переключениями имеют весьма неожиданные применения в теории чисел. В работе [2] В.Протасов применяет их к известной задаче об асимптотике бинарной функции разбиения Эйлера. Для прозвольного множества D ⊂ Z+ целых неотрицательных чисел, называемого словарем, рассматривается величина bD(k) равная количеству различных представлений натурального числа k в виде суммы k = P j≥0 dj2 j, в которой все “цифры” dj принадлежат словарю D. Эта величина называется бинарной функцией разбиения числа k. Асимптотика этой функции при k → +∞ изучалась еще Эйлером для случая D = Z+. Точная асимптотика для этого случая была найдена Малером в 1940, затем уточнялась в работах де Брёйна (1948), Пеннингтона (1953), Кнута (1966), Фрейберга (1997). Бинарная функция разбиения для конечных словарей была впервые изучена Резником (1990), где рассматривался случай полного конечного словаря D = {0, 1, . . ., n}. Этот случай также изучался в работах Дюмонта, Сидорова, Томаса, Фенга и др. В работе [2] В.Протасов развивает принципиально новый подход, в котором функция разбиения ассоциируется с определенной динамичской системой с переключениями посредством так называемого масштабирующего функционального уравнения. В результате он охарактеризовал асимптотическое поведение bD(k), k → +∞ для всех конечных словарей (не только полных, как было в предшествующих работах), вычислил соответствующие асимптотики роста и классифицировал все случаи регулярного роста.
Еще одно важное приложение динамических систем с переключениями – исследование всплесков (функций, применяемых для обработки сигналов, наряду с разложением Фурье) и связанных с ними алгоритмов приближения кривых и поверхностей – subdivision algorithms, черезвычайно популярных в практических задачах. Задача об определении показателей гладкости всплесков является одной из центральных в теории. Для функций одной переменной она была успешно решена в начале 90-х усилиями Добеши, Лагариаса, Мичелли, Хейля, Стрэнга, и др. Это решение, однако, не удавалось в полной мере обобщить на функции многих переменных. Проблема оставалась открытой более 20 лет. В недавней работе В.Протасова и М.Шариной [6] представлено ее полное решение.
Цикл работ В.Ю.Протасова (2017):
1. N.Guglielmi, L.Laglia, and V.Yu.Protasov, Polytope Lyapunov functions for stable and for stabilizable LSS, Found. Comput. Math. 17 (2017), No 2, 567–623.
2. V.Yu. Protasov, The Euler binary partition function and subdivision schemes, Math. Comp. 86 (2017), 1499–1524.
3. M.Charina, C.Conti, N.Guglielmi, and V.Yu.Protasov, Regularity of nonstationary multivariate subdivision, Numer. Math., 135 (2017), no 3, 639–678.
4. V.Yu.Protasov, A.S.Voynov, Matrix semigroups with constant spectral radius, Linear Alg. Appl. 513 (2017), 376–408
5. V.Yu.Protasov, Comprehensive Lyapunov functions for linear dynamical systems, submitted to Automatika (2017).
6. M.Charina and V.Yu.Protasov, Smoothness of anisotropic wavelets, frames and subdivision schemes, to appear in Applied and Comput. Harmon. Anal. (2017), arXiv:1702.00269.
7. A.Cicone, N.Guglielmi, and V.Yu.Protasov, Linear dynamical systems on graphs, to appear in Nonlinear Analysis: Hybrid systems., arXiv:1607.00415
